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Convergência

• Convergência pontual: Dizemos que a sequência de variáveis aleatórias $\{X_n\}^\infty_{n=1}$ converge pontualmente para $X$ se para todo $\varepsilon>0$ e todo ponto amostral $s\in S$, tivermos que $n_0 \in N$ tal que $|X_n(S) -X(S)|\leq \varepsilon$ para todo $n \ge n_0$.
• Convergência quase certa: Dizemos que a sequência de variáveis aleatórias $\{X_n\}^\infty_{n=1}$ converge quase certamente para $X$ $(X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} X)$ se para todo $\varepsilon>0$ tivermos que $p(\lim_{n \to \infty} |X_n -X|\leq \varepsilon)=1$.
  • Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} X$, então dizemos que $X$ converge fortemente para $X$.
• Convergência em probabilidade: Dizemos que a sequência de variáveis aleatórias $\{X_n\}^\infty_{n=1}$ converge em probabilidade para $X$ $(X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} X)$ se para todo $\varepsilon>0$ tivermos que $\lim_{n \to \infty}p( |X_n -X|\leq \varepsilon)=1$ ou $\lim_{n \to \infty}p( |X_n -X|\geq \varepsilon)=0$.
  • Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} X$, então dizemos que $X$ converge fracamente para $X$.
• Convergência em distribuição: Dizemos que a sequência de variáveis aleatórias $\{X_n\}^\infty_{n=1}$ converge em distribuição para $X$ $(X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} X)$ se para $F_n(X) \to F(X)$ quando $n \to \infty$ para todo ponto $x$ de continuidade em $F$.

Seguem alguns propriedades:

1. Se $X_n \to X$, então $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} X$.
2. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} X$, então $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} X$.
3. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} X$, então $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} X$.
   1. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} c$, onde $c$ é uma constante, então $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} c$.
4. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} X$, então $g(X_n) \xrightarrow[\text{}]{\text{q.c}} g(X)$.
5. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} X$, então $g(X_n) \xrightarrow[\text{}]{\text{p}} g(X)$.
6. Se $X_n \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} X$, então $g(X_n) \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} g(X)$.

Teorema de Tchebycheff

Conceitos importantes

• Versão 1: se $X$ é uma variável aleatória com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma$, então a versão mais específica do Teorema de Tchebycheff nos assegura que

  $$ P(\vert X-\mu \vert\geq k \sigma) \leq\frac{1}{k^2} $$

  Para qualquer $k >0$, sendo que $\vert X -\mu \vert \geq k \sigma$ indica que a distância do valor de $X$ em relação a sua média tem de ser maior ou igual a uma certa distância em desvios padrão. Pelo Teorema de Tchebycheff enunciado acima, temos que o valor máximo da probabilidade dada é dado por $\frac{1}{k^2}$

• Com isso, também podemos escrever que

  $$ P(\vert X -\mu \vert \leq k\sigma)\geq1-\frac{1}{k^2} $$

• Versão 2: a versão mais geral do Teorema de Tchebycheff nos garante que

  $$ P(\vert X-c\vert\geq \varepsilon) \leq \frac{\mathbb{E}[(X-c)^2]}{\varepsilon^2} $$

  Para qualquer $c \in \mathbb{R}$ e $\varepsilon>0$. Ou seja, nesse caso, conseguimos encontrar o valor máximo da probabilidade do valor de $X$ estar a uma distância de ao menos $\varepsilon$ de uma constante $c$.

  • Com $c=\mu$ e $\varepsilon=k\sigma$, chegamos na versão mais específica do teorema (versão 1).

  $$ P(\vert X-c\vert\geq \varepsilon) \leq \frac{Var(X)}{\varepsilon^2} $$

Observação: Note que para o intervalo superior temos $P(\vert X-c\vert\leq \varepsilon) \geq 1-\frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$ .

Lei dos Grandes Números