Seja $b$ o período base, $t$ o período de interesse/atual e dois bens $A$ e $B$, temos que
O índice de preços de Laspeyres é dado por
$$ I_L(p_t \vert p_b) = \frac{p_{A}^{t}q_{A}^{b}+p_{B}^{t}q_{B}^{b}}{p_{A}^{b}q_{A}^{b}+p_{B}^{b}q_{B}^{b}} $$
O índice de quantidades de Laspeyres é dado por
$$ I_L(q_t \vert q_b) = \frac{p_{A}^{b}q_{A}^{t}+p_{B}^{b}q_{B}^{t}}{p_{A}^{b}q_{A}^{b}+p_{B}^{b}q_{B}^{b}} $$
Ou seja, nos índices de Laspeyres, os pesos (quantidades, para o índice de preços de Laspeyres, e preços, para o índice de quantidade de Laspeyres) estão fixos no período base, enquanto a variável de interesse (preço ou quantidade) varia entre os períodos
Para uma situação com mais bens, o mesmo raciocínio vale
Seja $b$ o período base, $t$ o período de interesse/atual e dois bens $A$ e $B$, temos que
O índice de preços de Paasche é dado por
$$ I_P(p_t\vert p_b) = \frac{p_{A}^{t}q_{A}^{t}+p_{B}^{t}q_{B}^{t}}{p_{A}^{b}q_{A}^{t}+p_{B}^{b}q_{B}^{t}} $$
O índice de quantidades de Paasche é dado por
$$ I_P(q_t\vert q_b) = \frac{p_{A}^{t}q_{A}^{t}+p_{B}^{t}q_{B}^{t}}{p_{A}^{t}q_{A}^{b}+p_{B}^{t}q_{B}^{b}} $$
Ou seja, nos índices de Paasche, os pesos (quantidades, para o índice de preços de Paasche, e preços, para o índice de quantidade de Paasche) estão fixos no período de interesse/base, enquanto a variável de interesse (preço ou quantidade) varia entre os períodos
O índice de preços de Fisher é dado por
$$ I_F(p_t \vert p_b)=\sqrt{I_L(p_t \vert p_b)I_P(p_t \vert p_b)} $$
O índice de quantidades de Fisher é dado por
$$ I_F(q_t \vert q_b)=\sqrt{I_L(q_t \vert q_b)I_P(q_t \vert q_b)} $$
O índices de preços (quantidades) de Laspeyres é uma média aritmética ponderada entre os preços (quantidades) relativos, em que os pesos são dados pelo valor de cada produto no período base
$$ I_L(p_t \vert p_b) = \frac{\frac{p_A^t}{p_A^b}p_A^bq_A^b+\frac{p_B^t}{p_B^b}p_B^bq_B^b}{p_A^bq_A^b + p_B^bq_B^b} $$
$$ I_L(q_t \vert q_b) = \frac{\frac{q_A^t}{q_A^b}p_A^bq_A^b+\frac{q_B^t}{q_B^b}p_B^bq_B^b}{p_A^bq_A^b + p_B^bq_B^b} $$
Definição: uma média harmônica ponderada entre $x$ e $y$ é dada por
$$ MH = \frac{1}{MA\left ( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right )}=\frac{\frac{1}{w_1\frac{1}{x}+w_2\frac{1}{y}}}{w_1+w_2} $$
Em que $MA$ é uma média aritmética ponderada
O índice de preços (quantidades) de Paasche é uma média harmônica ponderada entre os preços (quantidades) relativos, em que os pesos são dados pelo valor de cada produto no período de interesse/atual
$$ I_P(p_t \vert p_b) =\frac{\frac{1}{\frac{p_A^b}{p_A^t}p_A^tq_A^t+\frac{p_B^b}{p_B^t}p_B^tq_B^t}}{p_A^tq_A^t+p_B^tq_B^t} $$
$$ I_P(q_t \vert q_b) =\frac{\frac{1}{\frac{q_A^b}{q_A^t}p_A^tq_A^t+\frac{q_B^b}{q_B^t}p_B^tq_B^t}}{p_A^tq_A^t+p_B^tq_B^t} $$
Critério da circularidade (encadeamento): seja $I^{s(r)}$ o índice no período $s$ com base em $r$ e $I^{t(s)}$ o índice no período $t$ com base em $s$. Temos que $I$ satisfaz o critério da circularidade se
$$ I^{s(r)}I^{t(s)}=I^{t(r)}, \forall \; r, s, t $$
Os índices de Laspeyres, Paasche e Fisher não satisfazem o critério da circularidade
Critério da reversão no tempo: seja $I$ um índice. Dizemos que ele satisfaz o critério da reversão no tempo se
$$ I^{s(r)}I^{r(s)}=1, \forall \; r, s $$
Os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem o critério da reversão no tempo. O índice de Fischer satisfaz