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Equilíbrio de Nash

Conceitos importantes

• Todo jogo envolve jogadores, estratégias e payoffs

• Matriz de payoff: a matriz de payoff descreve os payoffs que cada jogador possui em cada estratégia do jogo. Suponhamos um jogo envolvendo dois jogadores, 1 e 2, sendo que 1 pode escolher as estratégias A e B e o jogador 2 as estratégias C e D. Podemos, então, supor uma matriz de payoff abaixo

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 1,2 & 0,1\\

  \text{B} & 2,1 & 1,0 \\ \end{array} $$

• Podemos definir os seguintes conceitos

  1. Estratégia estritamente dominante: quando um jogador escolhe sempre a mesma estratégia, não importando a estratégia escolhida pelo outro jogador, então dizemos que essa estratégia é dominante
  2. Estratégia fracamente dominante: é análoga à situação acima, mas nesse caso é uma estratégia que deixa o jogador melhor ou igual à outra estratégia, considerando uma estratégia escolhida pelo outro jogador

• Podemos visualizar os conceitos acima nos seguintes jogos

  1. Notamos que, no jogo mostrado acima, para o jogador 1, a estratégia B é dominante, o que pode ser visualizado com a seguinte marcação, em que o ponto assinala a estratégia preferida para o jogador 1 de acordo com a estratégia escolhida pelo jogador 2

     $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 1,2 & 0,1\\

     \text{B} & \cdot2,1 & \cdot1,0 \\ \end{array} $$

  2. No jogo abaixo, notamos que a estratégia B é fracamente dominante para o jogador 1, pois ele é indiferente entre A e B quando o jogador 2 escolhe a estratégia D

     $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 1,2 & \cdot1,1\\

     \text{B} & \cdot2,1 & \cdot1,0 \\ \end{array} $$

Equilíbrio de Nash

• Equilíbrio de Nash: é um par de estratégias tais que a escolha do jogador 1 é ótima, dada a escolha do jogador 2, e a escolha do jogador 2 é ótima, dada a escolha do jogador 1. Ou seja, um jogador não deseja mudar sua estratégia ao ver o que o outro jogador escolheu

• Tomemos o primeiro exemplo acima, mas dessa vez marcando as estratégias ótimas de ambos os jogadores

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 1,2\cdot & 0,1\\

  \text{B} & \cdot2,1\cdot & \cdot1,0 \\ \end{array} \\ \Downarrow \\EN=\{\text{B, C}\} $$

• Observação 1: um jogo pode ter mais do que um Equilíbrio de Nash, como vemos no jogo abaixo

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{A} & \text{B} \\ \hline \text{A} & \cdot1,1\cdot & 0,0\\ \text{B} & 0,0 & \cdot1,1\cdot\\ \end{array}\\ \Downarrow \\ EN=\{(\text{A, C});(\text{B}, \text{D})\} $$

• Observação 2: um jogo pode não ter um Equilíbrio de Nash em estratégias puras, como vemos no jogo abaixo

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 0,0\cdot & \cdot0,-1\\

  \text{B} & \cdot1,0 & -1,3\cdot \\ \end{array} \\ \Downarrow \\ \nexists EN \; \text{em estratégias puras} $$

• Observação 3: não necessariamente um Equilíbrio de Nash é Pareto-eficiente. O caso clássico é o Dilema dos Prisioneiros, dado pela matriz de payoff abaixo

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{Confessa} & \text{Não confessa} \\ \hline \text{Confessa} & \cdot-5,-5\cdot & -1,-10\\

  \text{Não confessa} & -10,-1 & \cdot0,0\cdot\\ \end{array}\\ \Downarrow\\ EN = \{(\text{Confessa, Confessa}); (\text{Não confessa, Não confessa})\} $$

  Dos Equilíbrios de Nash acima, apenas o segundo é Pareto-eficiente

Estratégias mistas

• Propriedade: todo jogo simultâneo possui um Equilíbrio de Nash, seja ele em estratégias puras ou mistas

• Suponhamos o seguinte jogo

  $$ \begin{array}{c|cc} \text{J}_1/\text{J}_2& \text{C} & \text{D} \\ \hline \text{A} & 0,0\cdot & \cdot0,-1\\

  \text{B} & \cdot1,0 & -1,3\cdot \\ \end{array} \\ $$

• Notamos que esse jogo não possui um Equilíbrio de Nash em estratégias puras

• Como temos um jogo simultâneo, podemos então encontrar o seu Equilíbrio de Nash em estratégias mistas, seguindo o procedimento abaixo

  1. Atribuir uma probabilidade para cada estratégia do jogador 1 e do jogador 2. Suponhamos que o jogador 1 jogue A com probabilidade $p$ e B com probabilidade $1-p$. Analogamente, suponhamos que o jogador B jogue C com probabilidade $q$ e D com probabilidade $1-q$

  2. Escrever as expressões que definem o ganho esperado do jogador 1 e do jogador 2

     $$ \begin{aligned} &G_1^e=0\cdot pq+0\cdot p(1-q)+1\cdot(1-p)q-1\cdot(1-p)(1-q)\Leftrightarrow G_1^e=2q+p-1-2pq\\ &G_2^e=0\cdot pq-1\cdot p(1-q)+0\cdot(1-p)q-3\cdot(1-p)(1-q) \Leftrightarrow G_2^e=3+4pq-4p-3q \end{aligned} $$

  3. Resolver os problemas de maximização dos ganhos esperados dos jogadores, escolhendo as probabilidades $p$ e $q$, ou seja

     $$ \begin{aligned} &\max_{p}G_1^e=2q+p-1-2pq\\ &\max_{q}G_2^e=3+4pq-4p-3q \end{aligned} $$

  4. Sejam $p^$ e $q^$ as probabilidades que resultam dos problemas de maximização acima, o Equilíbrio de Nash em estratégias mistas desse jogo é dado por

     • Jogador 1: joga A com probabilidade $p = p^$ e joga B com probabilidade $1-p = 1-p^$
     • Jogador 2: joga C com probabilidade $q = q^$ e joga D com probabilidade $1-q=1-q^$