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Estimadores

Estimador da média

• Suponhamos um conjunto de $N$ valores (população) com média $\mu$ desconhecida. Observamos apenas uma amostra aleatória (portanto representativa) com $n<N$ valores. Sejam $X_1, X_2, \; \dotsc \; , X_n$ os valores observados na amostra aleatória, sendo independentes entre si. Estimamos a média populacional $\mu$ através da média amostral

  $$ \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\dotsc+X_n}{n} $$

• Observações importantes

  1. $\bar{X}$ é um possível estimador da média populacional (há outros)
  2. Podemos estimar outros valores que não sejam a média populacional

Características desejáveis de um estimador

• Suponha que estimamos um valor $\theta$ através de um estimador $\hat{\theta}$

• Duas características desejáveis de um estimador $\hat{\theta}$

  1. Não viés: $\mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta$. Também dizemos que, nesse caso, $\hat{\theta}$ é não tendencioso ou não viciado
  2. Consistência: $\hat{\theta} \overset{p}\rightarrow\theta$, ou quando o tamanho da amostra vai para infinito, temos uma probabilidade de $100 \%$ de que o estimador irá convergir para o valor verdadeiro $\theta$

• No caso do estimador $\bar{X}$

  1. $\mathbb{E}[\bar{X}]=\mathbb{E}\left[ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n} \right] = \mu$, pois $X_i$ vem de uma população com média $\mu$, ou seja, é não viesado
  2. Pela Lei dos Grandes Números, $\bar{X} \overset{p}\rightarrow\mu$, portanto é consistente
  • Ou seja, a média amostral é o estimador mais eficiente da média populacional

• Propriedade: se um estimador $\hat{\theta}$ de um parâmetro $\theta$ é não viesado e a variância de $\hat{\theta}$ converge para $0$ conforme o tamanho da amostra $n$ tende a infinito, então o estimador $\hat{\theta}$ será consistente pelo Teorema de Tchebycheff, pois $\mathbb{E}[\hat{\theta}]=\mu_\theta=\theta$ então

  $$ \frac{\mathbb{E}[(\hat{\theta}-\theta)^2]}{\epsilon^2}=\frac{\mathrm{Var}(\hat{\theta})}{\epsilon^2} \to 0 \; \text{se} \; n \to +\infty \Rightarrow P(\vert\hat{\theta}-\theta \vert\geq\epsilon) \to 0\; \text{se} \; n \to +\infty $$

  Que é exatamente a definição de consistência

  • Observação importante: a direção oposta da afirmação não é verdadeira

Erro quadrático médio

• Suponha que estimamos um valor $\theta$ através de um estimador $\hat{\theta}$. Uma medida do quão bom (ou ruim) é o estimador $\hat{\theta}$ é o erro quadrático médio (EQM), dado por

  $$ EQM=\mathbb{E}[(\hat{\theta}-\theta)^2]=(\mathbb{E}[\hat{\theta}-\theta])^2+\mathrm{Var}[\hat{\theta}] $$

• Ou seja, o EQM é composto pelo viés ao quadrado e pela variância do estimador. Como temos que quanto maior o EQM, pior é o estimador, podemos dizer que o quão bom é um estimador dependerá do seu viés e da sua variância

• Sejam $\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \; \dotsc \;, \hat{\theta}_n$ diferentes estimadores de $\theta$. Chamamos de eficiente o "melhor" estimador entre eles, normalmente usando um dos critérios abaixo

  1. Ser não viesado e ter a menor variância
  2. Ter o menor EQM

Dicas sobre exercícios

• Sabemos, pela Lei dos Grandes números, que $\bar{X}$ converge em probabilidade para $\mu$, ou seja, $\bar{X}$ é consistente. Se o estimador dado pelo enunciado não fornecer de imediato um estimador em que consigamos utilizar a Lei dos Grandes Números, devemos manipular algebricamente o estimador para obter uma relação com $\bar{X}$. Um exemplo é o exercício 2013/Q7-3 abaixo, em que foi necessário o procedimento a seguir

  $$ N'=\frac{N}{2} \Rightarrow T_3'= \frac{\sum_{i=1}^{N'}X_i}{N'} \overset{p}\rightarrow \theta_1 \Rightarrow T_3 = \frac{T_3'}{2} \overset{p}\rightarrow\frac{\theta_1}{2} $$