Firma | Notion

Funções de produção

A função de produção de uma firma é dada por

$$ q = f(k, l) $$

Em que $q$ é a quantidade produzida, $k$ é o capital e $l$ é o trabalho
Observação importante: não podemos fazer transformações monotônicas quando lidamos com funções de produção, pois nesse caso estamos interessados no nível da produção, e não apenas na ordinalidade dela
As produtividades marginais do capital e do trabalho são dadas por

$$ \begin{aligned} &PMg_k=\frac{\partial f(k,l)}{\partial k}=f_k \\ &PMg_l = \frac{\partial f(k,l)}{\partial l}=f_l \end{aligned} $$
Temos, como hipóteses, que
1. $f_k>0, f_l>0$
2. $f_{kk}<0, f_{ll}<0$, ou seja, as produtividades marginais dos fatores são decrescentes
As produtividades médias (ou produto médio) do capital e do trabalho são dadas por

$$ \begin{aligned} &PMe_k=\frac{f(k,l)}{k}=\frac{q}{k} \\ &PMe_l = \frac{f(k,l)}{l}=\frac{q}{l} \end{aligned} $$

Uma isoquanta de uma função de produção nos dá as combinações de capital e trabalho que levam ao mesmo nível de produção
Graficamente, podemos visualizar uma isoquanta da seguinte forma

Notamos que as isoquantas são curvas de nível da função de produção da firma

A taxa marginal de substituição técnica (TMST) entre os fatores é a inclinação de uma determinada isoquanta. Assim, podemos defini-la como

$$ TMST=\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}l}\Big\vert_{q=q_0}=-\frac{PMg_l}{PMg_k} $$
Observação importante: é comum definirmos a TMST em módulo, assim como ocorre com a TMS na Teoria do Consumidor
Propriedade: se o módulo da TMST é decrescente, então as isoquantas da função de produção são estritamente convexas
- Para verificar se a TMST é decrescente em valor absoluto, basta aplicar o módulo na expressão encontrada para a TMST e diferenciar o resultado em relação a $l$. Se o resultado for negativo, então teremos uma TMST decrescente em valor absoluto e, portanto, as isoquantas da função de produção serão estritamente convexas