Definição 1: uma variável aleatória contínua pode assumir um valor entre todos (infinitos) valores dentro de um certo intervalo
Definição 2: para variáveis contínuas, sempre falamos da probabilidade dela estar em um intervalo. Assim, definimos a função densidade de probabilidade (fdp) tal que a área entre seu gráfico e o eixo $x$ represente probabilidades. Então, se $f$ é a fdp de uma variável contínua $X$, temos que
$$ P(a \leq X \leq b)= \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x $$
Definição 3: seja $F$ a função distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua $X$, então temos que
$$ F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t $$
Observação importante: se a variável aleatória possui valores não nulos apenas dentro de um intervalo específico $[a,b]$, podemos encontrar a função densidade acumulada usando apenas esse intervalo, considerando $x \in [a,b]$. Um exemplo seria a variável $X$ com fdp tal que
$$ f(x)=\left\{\begin{aligned} &2x, &x \in [0,1]\\ &0, &\text{caso contrário} \end{aligned}\right. $$
Em que a função densidade acumulada seria dada por
$$ F(x) = P(X \leq x)=\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2 $$
Como $F$ é sempre crescente e termina em $1$, temos que $P(X \leq +\infty)=1$
Propriedade: temos que $P(a \leq X \leq b)=F(b)-F(a)$
Definição: se $X$ é uma variável aleatória contínua com fdp $f$ temos que a média de $X$ é dada por
$$ \mu=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\mathrm{d}x $$
Definição: se $X$ é uma variável aleatória contínua com fdp $f$, temos que o valor esperado de uma função $g(X)$ é dado por
$$ \mathbb{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\mathrm{d}x $$