Modelo keynesiano: Lei Psicológica Fundamental, em que
$$ C = c_0+c_1Y^d $$
Nesse modelo, temos que
A propensão marginal a consumir, dada por
$$ PMgC=\frac{\partial C}{\partial Y^d}=c_1, \quad 0<c_1<1 $$
É constante
A propensão média a consumir, dada por
$$ PMeC=\frac{C}{Y^d}=\frac{c_0}{Y^d}+c_1 $$
Decai conforme a renda aumenta
Porém, os dados não corroboram o modelo keynesiano
Indivíduos fazem uma escolha intertemporal de consumo para maximizar a utilidade
Renda e taxas de juros são exógenas e o consumo é endógeno
Temos dois períodos, ou seja, $t \in \{1,2\}$
Consumo futuro vale menos do que o consumo presente, o que é regulado por um parâmetro $\beta, \; 0<\beta<1$
É possível transferir recursos entre os períodos por meio de um mercado de crédito perfeito, tomando empréstimo ou emprestando a uma taxa de juros $r$
Restrições orçamentárias
No período $t=1$
$$ c_1+s=y_1 $$
No período $t=2$
$$ c_2=y_2+s(1+r) $$
Restrição orçamentária em valor presente
$$ s = \frac{c_2-y_2}{1+r} \Rightarrow c_1+\frac{c_2}{1+r}=y_1+\frac{y_2}{1+r} $$
Problema de maximização
$$ \begin{aligned} \max_{c_1,c_2} \quad & U(c_1,c_2)=\ln(c_1)+\beta\ln(c_2)\\ \textrm{s.t.} \quad & c_1+\frac{c_2}{1+r}= y_1+\frac{y_2}{1+r} \end{aligned} $$
O lagrangeano do problema de maximização acima é dado por
$$ \mathcal{L} = \ln(c_1)+\beta\ln(c_2)+\lambda\left[y_1+\frac{y_2}{1+r}-c_1-\frac{c_2}{1+r}\right] $$
E a solução é tal que
$$ c_1=\beta(1+r)c_2 \Rightarrow \left\{\begin{aligned} & c_1 = \frac{1}{1+\beta}\left[y_1+\frac{y_2}{1+r}\right]\\ & c_2 = \frac{\beta(1+r)}{1+\beta}\left[y_1+\frac{y_2}{1+r}\right] \end{aligned}\right. $$
Conclusões