• Índice

https://alinsperedu-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/victorma1_al_insper_edu_br/EZPcRAU0TiBBiPIIJpEhH_gBv0t82ublJp8oIXY4tURCpw?e=IxYvie

Limite

Conceitos importantes

• Definições

  1. Limite real: se, quando $x$ se aproxima o suficiente de $a \in \mathbb{R}$, $f(x)$ fica arbitrariamente próxima de $L \in \mathbb{R}$, então dizemos que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$
  2. Limite infinito: se, quando $x$ se aproxima de $a \in \mathbb{R}$, $f(x)$ fica arbitrariamente grande (ou pequena), então dizemos que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \pm \infty$
  3. Limites laterais:
     • Se, quando $x$ se aproxima o suficiente de $a \in \mathbb{R}$ através de valores maiores que $a$, $f(x)$ fica arbitrariamente próxima de $L \in \mathbb{R}$, dizemos que $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x) = L$
     • Se, quando $x$ se aproxima o suficiente de $a \in \mathbb{R}$ através de valores menores que $a$, $f(x)$ fica arbitrariamente próxima de $L \in \mathbb{R}$, dizemos que $\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x) = L$
     • Se $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x) \neq \lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)$, então $\nexists \; \lim\limits_{x \to a} f(x)$
  4. Limite no infinito: se, quando $x$ fica suficientemente grande (ou pequeno), $f(x)$ fica arbitrariamente próximo de $L \in \mathbb{R}$, dizemos que $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = L$ (ou $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = L$)

• Propriedades

  1. $\lim\limits_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim\limits_{x \to a}f(x) \pm \lim\limits_{x \to a}g(x)$
  2. $\lim\limits_{x \to a}[cf(x)] = c\lim\limits_{x \to a}f(x)$, $c \in \mathbb{R}$
  3. $\lim\limits_{x \to a}[f(x)g(x)] = \lim\limits_{x \to a}f(x)\lim\limits_{x \to a}g(x)$
  4. $\lim\limits_{x \to a}\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ] = \frac{\lim\limits_{x \to a}f(x)}{\lim\limits_{x \to a}g(x)}$, se $\lim\limits_{x \to a}g(x) \neq0$
  5. $\lim\limits_{x \to a}h(f(x)) = h(\lim\limits_{x \to a}f(x))$, se $h$ é contínua

• Limites triviais

  1. $\lim\limits_{x \to a}c = c$, sendo $c \in \mathbb{R}$

  $\lim\limits_{x \to a}x = a$

• Operações com infinito

  1. $\infty+\infty = \infty$
  2. $\infty\infty = \infty$
  3. $\infty+c = \infty$, $\forall \; c \in \mathbb{R}$
  4. $\infty c = \infty$, $\forall \; c \in \mathbb{R}$
  5. $\frac{\infty}{c} = \infty$, $\forall \; c>0$
  6. $\frac{c}{\infty} = 0$, $\forall \; c \in \mathbb{R}$

• Indeterminações

  1. $"\frac{0}{0}"$
  2. $"\frac{\infty}{\infty}"$
  3. $"\infty-\infty"$
  4. $"0\infty"$
  5. $"1^{\infty}"$
  6. $"\infty^{0}"$

• Teorema do confronto

  • Se $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ e $\lim\limits_{x \to a}f(x)=\lim\limits_{x \to a}h(x) = L$, $L \in \mathbb{R}$, então temos que $\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$

Dica para solucionar indeterminações típicas

• Indeterminações do tipo $"\frac{0}{0}"$: fatorar o numerador e o denominador a fim de cancelar termos comuns entre os dois
• Indeterminações do tipo $"\frac{\infty}{\infty}"$: colocar os termos de maior grau no numerador e no denominador em evidência e cancelar o que for possível
• Indeterminações do tipo $"\infty-\infty"$: colocar o termo de maior grau em evidência

Regra de L'Hôspital

• Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis. Suponha que $\lim\limits_{x \to a}\left [\frac{f(x)}{g(x)}\right ]$ seja uma indeterminação do tipo $"\frac{0}{0}"$ ou $"\frac{\infty}{\infty}"$, então $\lim\limits_{x \to a}\left [\frac{f(x)}{g(x)}\right ] = \lim\limits_{x \to a}\left [\frac{f'(x)}{g'(x)}\right ]$
• Observação: a regra de L'Hôspital funciona para qualquer $a \in \mathbb{R} \; \cup \left\{-\infty, +\infty \right\}$ e também para limites laterais

Limites importantes

1. $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\mathrm{sen}(x)}{x} = 1$